Магия 37%: как найти
идеального сотрудника

Можно ли найти свою единственную любовь с помощью математической формулы? Вряд ли, а вот идеального сотрудника вполне. Как? Об этом журналист Брайан Кристиан и психолог Том Гриффитс рассказывают в своей книге «Алгоритмы для жизни: простые способы принимать верные решения», которая выходит в издательстве «Альпина Паблишер». Публикуем интересные фрагменты.

Задача об оптимальной остановке

Когда пора остановить поиски

Каждый год влюбленные парочки студентов-первокурсников возвращаются после совместных каникул по случаю Дня благодарения, разругавшись в пух и прах. Это так часто происходит, что у психологов колледжей есть даже специальное словечко: turkey drop. Однажды к психологу на прием пришел Брайан, крайне возбужденный первокурсник. Его школьная подружка уехала учиться в другой колледж, и теперь у них был классический роман на расстоянии. Кроме того, их мучил непростой философский вопрос: а хорошие ли у них отношения? Сравнивать им было не с чем. Психолог посочувствовала Брайану, сказала, что это типичная дилемма первокурсников, и невозмутимым тоном предложила удивительное: «Собирай данные». Сторонники серийной моногамии, как правило, сталкиваются с фундаментальной неизбежной проблемой. Когда можно считать, что вы познакомились с достаточным количеством людей, чтобы найти свою половинку? А что, если вы уже пропустили ее? Настоящая «уловка-22» в любовных делах! Ответ на крик души этого влюбленного первокурсника содержится в теории, которую математики называют «задачей об оптимальной остановке». И звучит он так: 37%. Ну или как-то иначе. Все зависит от ваших взглядов на любовь.

Задача о секретаре

В любой задаче об оптимальной остановке критически важный вопрос — не «какой вариант необходимо выбрать», а «как много вариантов необходимо рассмотреть и учесть». Эти задачи имеют значение не только для влюбленных или арендаторов, но и для водителей, домовладельцев, грабителей и т. д. Правило 37% произошло от самой известной головоломки об оптимальной остановке, которая со временем стала известна как «задача о секретаре». Исходные данные задачи очень напоминают дилемму о поиске квартиры, которую мы рассматривали ранее. Представьте, что вы проводите собеседование с рядом кандидатов на позицию секретаря и ваша цель — выбрать и принять на работу единственного кандидата, лучшего из всех. Пока у вас нет представления, как распределить баллы между каждым из претендентов, вы можете легко определить, кому вы отдаете предпочтение. (В этом случае математик сказал бы, что вы оперируете только порядковыми числами — вы сравниваете только соответствующие качества, которыми обладают все кандидаты)...

Но вам недоступны количественные числа — вы не можете ранжировать эти качества в общей шкале.) Вы интервьюируете претендентов в произвольном порядке, по одному за раз. Вы можете принять решение нанять кандидата в любой момент собеседования, а он, в свою очередь, примет ваше предложение и завершит свои поиски работы. Но при этом, если вы упустите кандидата, решив не нанимать его, вы потеряете его навсегда. Считается, что задача о секретаре впервые была опубликована (без непосредственного упоминания секретарей) в фев- ральском номере журнала Scientifi c American в 1960 году Мартином Гарднером в качестве одной из головоломок в его популярной колонке о занимательной математике. Однако само происхождение задачи остается загадкой. Наше собственное расследование с нуля привело нас к некоторой гипотезе еще до того, как оно неожиданно превратилось для нас в детективную работу в прямом смысле слова.

Мы отправились в Стэнфорд, чтобы в архивах работ Гарднера найти его переписку середины прошлого века. Чтение писем немного напоминает подслушивание чужого телефонного разговора: вы слышите только одну сторону диалога, а ответ можете лишь предположить. В нашем случае у нас были только ответы на вопросы, которыми, очевидно, задавался сам Гарднер более 50 лет назад, исследуя историю происхождения задач. Чем больше мы читали, тем более запутанной и неясной казалась нам эта история. Гарвардский математик Фредерик Мостеллер вспомнил, что слышал об этой задаче в 1955 году от своего коллеги Эндрю Глизона, который, в свою очередь, слышал о ней от кого-то еще. Лео Мозер из Альбертского университета рассказывал в своем письме, что читал о головоломке в «неких записях» Р. И. Гаскелла из компании Boeing, который приписывал авторство задачи своему коллеге. Роджер Пинкхам из Ратгерского университета писал, что впервые услышал о головоломке в 1955 году от математика по фамилии Шонфильд из Университета Дьюка, а тот, по его убеждению, сам впервые услышал о задаче от кого-то из Мичигана. Этот «кто-то из Мичигана», с большой вероятностью, носил имя Меррил Флад...

По его же собственным словам, Флад приступил к изучению вопроса в 1949-м и в 1958 году стал автором своего первого известного открытия — правила 37%. Хотя он и отдает пальму первенства в этом вопросе другим математикам. Достаточно будет отметить, что вне зависимости от своего происхождения задача о секретаре оказалась едва ли не идеальной математической загадкой: ее легко объяснить, очень сложно решить, решение ее чрезвычайно лаконично, а выводы крайне занимательны. В результате она передавалась из уст в уста в математических кругах в 50-е годы, распространяясь со скоростью лесного пожара, и только благодаря Гарднеру и его колонке в 1960 году захватила воображение широкой общественности. К 80-м задача и различные ее вариации столько раз подвергались анализу, что ее стали обсуждать в газетах как подраздел самой себя. А что до секретарей, довольно умилительно наблюдать, как каждая культура накладывает свой особый антропологический отпечаток на формальные системы. К примеру, при мысли о шахматах нам представляется средневековая Европа, хотя на самом деле появились шахматы в VIII веке в Индии. Они были достаточно грубо «европеизированы» в XV веке, когда «шахи» были переименованы в «королей», «визири» — в «королев», а «слоны» стали «офицерами». Аналогичным образом менялись и задачи об оптимальной остановке, отражая насущные проблемы и переживания каждого поколения. В XIX веке типичными ситуациями для таких задач были барочные лотереи или выбор подходящего поклонника для дамы; в начале XX века — поиск лучшего отеля для автопутешественника и выбор подходящей спутницы для мужчины; в середине XX века, во время расцвета офисной рутины и доминирования мужчин, — подбор лучшей секретарши для руководителя-мужчины.

Впервые название задачи о секретаре именно в такой формулировке было упомянуто в газете в 1964 году, позднее оно закрепилось окончательно. Почему 37%? Подбирая секретаря, вы можете совершить две ошибки: остановиться либо слишком рано, либо слишком поздно. Если вы прекращаете поиски рано, существует большой риск, что лучшего кандидата вы еще не успели встретить. Если останавливаетесь слишком поздно, вы продолжаете ждать идеального кандидата, которого не существует. Оптимальная стратегия требует от вас баланса между чрезмерным и недостаточным поиском. Если ваша цель — найти лучшего претендента и вы не согласны на меньшее, то очевидно, что, пока вы проводите собеседования с кандидатами, вы не должны даже позволять себе мысли нанять кого-то, если он не лучший из всех, кого вы видели. Тем не менее просто быть лучшим недостаточно для того, чтобы получить предложение о работе. Ведь самый первый кандидат будет лучшим просто по определению. Проще говоря, совершенно очевидно, что показатели «лучшего на данный момент» претендента будут снижаться от собеседования к собеседованию. Например, второй кандидат имеет шансы 50 на 50 стать лучшим из тех, что вам довелось встретить. Но у пятого кандидата есть уже только один шанс из пяти, а у шестого — один из шести. В итоге «лучшие на данный момент» претенденты неизменно будут все больше впечатлять вас по мере продолжения поиска (ведь они по определению уже лучше всех тех, кто приходил до них), однако и попадаться они будут все реже и реже. Хорошо, теперь мы знаем, что принимать на работу первого «лучшего на данный момент» кандидата (иначе говоря, самого первого кандидата) — опрометчивое решение. Если у вас есть сто претендентов, поспешным будет предложить работу и второму «лучшему на данный момент» только потому, что он лучше первого. Так как же действовать?

Существует несколько потенциальных стратегий. Например, нанять кандидата, который в третий раз превосходит всех, кого вы уже видели. Или даже четвертый. Или, возможно, стоит принять следующего «лучшего на данный момент» кандидата после долгой «засухи» — вереницы слабых игроков. Но на поверку ни одна из этих относительно разумных стратегий не оказывается на высоте. Наоборот, оптимальное решение приобретает формы того, что мы называем правилом «семь раз отмерь, один раз отрежь». Вы изначально определяете количество таких «замеров», в нашем случае это рассмотрение вариантов и сбор информации, в течение которого вы не останавливаете свой выбор ни на ком, как бы он или она вас ни впечатлили. После этого вы переходите на этап «отрежь», когда вы готовы принять на работу любого, кто затмит лучшего кандидата, увиденного вами на первом этапе. Мы можем наблюдать, как вырисовывается правило «отмерь и отрежь» даже при совсем маленьком количестве кандидатов на позицию секретаря в нашей задаче. У вас есть всего один кандидат? Решение простое — наймите его!

Если у вас два претендента, ваши шансы на успех 50 на 50, что бы вы ни предприняли. Вы можете нанять первого претендента (который проявил себя лучше всех из первой половины прошедших собеседование) или же можете отказаться от первого и по умолчанию выбрать второго (который впечатлил вас больше всего из второй половины претендентов). Добавим третьего кандидата, и здесь уже становится интересней. Наш шанс на успех в этом случае равняется 33%. При наличии двух кандидатов мы могли полагаться только на удачу. Но если их трое, возможно, мы можем сами принять правильное решение? Получается, что можем. И все зависит от того, как мы поступим со вторым проинтервьюированным претендентом. Когда мы встречаем первого кандидата, у нас нет никакой информации, и, разумеется, он или она окажутся по умолчанию лучшим вариантом. Когда мы беседуем с третьим кандидатом, у нас нет свободы выбора, поскольку мы, в конце концов, должны кого-то нанять, а остальные кандидатуры мы уже отклонили. Но, когда мы встречаемся со вторым претендентом, мы оказываемся посередине: мы можем оценить, лучше или хуже второй кандидат, чем первый, и одновременно у нас есть выбор — принять этого кандидата или отказать. Что же произойдет в том или ином случае?

Мы рассмотрим лучшую из возможных стратегий на примере с тремя кандидатами. Этот подход работает на удивление удачно как с тремя претендентами, так и с двумя (в этом случае вам необходимо выбирать лучшего половину всего времени, предусмотренного на поиски).

Если развивать этот сценарий до четырех претендентов, то отбор необходимо начинать со второго кандидата. При пяти претендентах — с третьего. По мере того как количество претендентов растет, провести эту черту необходимо на отметке 37% от общего числа кандидатов, прежде чем начать отбор. Тщательно рассмотрите кандидатуры первых 37% претендентов, не отдавая предпочтение ни одному из них. Затем будьте готовы выбрать первого, проявившего себя лучше всех рассмотренных до него. Как оказывается, следование оптимальной стратегии в конечном итоге дает нам 37%-ный шанс принять на работу лучшего кандидата. Одновременно в этой цифре заключается и уникальная математическая симметрия этой задачи: число, определяющее стратегию, и процент вероятности успеха совпадают...

63%-ная вероятность неудачи при использовании лучшей имеющейся стратегии — отрезвляющий факт. Даже если, решая задачу, мы будем действовать оптимально, все равно в большинстве случаев мы потерпим неудачу и, значит, нам не суждено принять на работу того самого лучшего кандидата. Это плохая новость для тех, кто живет только поисками «того единственного (той единственной)». Но есть и положительный момент. Интуиция могла бы нам подсказать, что наши шансы на выбор лучшего кандидата будут неизменно уменьшаться при возрастании общего количества претендентов.

Если бы мы искали наугад, выбирая, к примеру, из ста претендентов, у нас был бы лишь один шанс на успех. Из тысячи — 0,0001% шанса. Тем не менее удивительно, что математическая составляющая задачи неизменна. При оптимальной остановке ваш шанс выбрать лучшего кандидата из ста — 37%. И если выбирать из тысячи, то вероятность успеха по-прежнему 37%. Таким образом, чем больше становится число претендентов, тем большую ценность для нас может представлять знание алгоритма. Действительно, в большинстве случаев вы вряд ли найдете потерянную иголку. Но оптимальная остановка, по крайней мере, защитит вас от ее поисков в стоге сена.

Любовный алгоритм

Задолго до того, как стать профессором в области операционных исследований в Университете Карнеги–Меллон, Майкл Трик был обычным выпускником и искал любовь. «Меня осенило: эта проблема уже изучена; это же задача о секретаре! У меня была свободная позиция и несколько претенденток и была цель — выбрать лучшую». Майкл произвел расчет. Он не знал, сколько женщин он встретит в своей жизни, но само по себе правило тридцати семи процентов обладает определенной гибкостью: его можно применить как в отношении количества кандидатов, так и при определении периода поиска.

Трик предположил, что будет искать суженую с 18 до 40 лет. Таким образом, согласно правилу 37% он определил, что по достижении 26,1 года он должен перейти от «просмотра» кандидаток к непосредственному отбору. Так и получилось. Поэтому, когда он встретил женщину, которая подходила ему больше всех тех, с кем он раньше встречался, он точно знал, что нужно действовать. Он сделал свой выбор. «Я не знал, была ли она идеальна для меня (сама модель алгоритма не позволяет определить это), но, вне всяческих сомнений, она соответствовала всем параметрам для следующего шага. Я сделал ей предложение, — пишет Трик, — и она ответила мне отказом».

Математики не понаслышке знают о несчастной любви как минимум с XVII века. Имя легендарного астронома Иоганна Кеплера по сей день остается на слуху благодаря открытию эллиптической формы планетных орбит и его огромной роли наравне с Галилеем и Ньютоном в «Революции Коперника», которая перевернула представление человека о его месте в космосе. Но у Кеплера были и вполне земные переживания. После смерти первой жены в 1611 году он приступил к долгим и непростым поискам второй половины. В общей сложности Кеплер ухаживал за одиннадцатью женщинами. Из первой «четверки» больше всех ему нравилась четвертая кандидатка («из-за ее высокого роста и атлетического телосложения»), однако на ней он не прекратил свои поиски. «Вопрос был бы решен, — писал он, — если бы любовь и разум не подтолкнули бы ко мне пятую женщину. Она покорила меня своей любовью, скромной преданностью, экономностью в хозяйстве, кротостью и заботой, которую она дарила моим детям. И тем не менее я продолжил поиски».

Друзья и знакомые Кеплера представляли его все новым дамам, и он продолжал свой поиск, но с некоторым безразличием. Его мысли оставались с той пятой женщиной. В конечном счете, после одиннадцати ухаживаний, он решил прекратить поиски. «Готовясь к поездке в Регенсбург, я вернулся к пятой женщине, открылся ей и получил ее согласие». Кеплер и Сюзанна Рюттингер поженились и вырастили шестерых детей, включая его детей от первого брака. Биографии описывают семейную жизнь Кеплера и Сюзанны как самое спокойное и радостное время в его жизни. И Кеплер, и Трик — хоть и с разными конечными результатами — первыми убедились на собственном опыте, что задача о секретаре излишне упрощает поиски второй половины.

В классическом варианте задачи претенденты на должность всегда дают положительный ответ на предложение о работе, исключая отказ, с которым столкнулся Трик. А «вернуть» кандидата, как это получилось у Кеплера, не представляется возможным. На протяжении десятилетий, с момента появления задачи о секретаре, ученые рассматривали множество вариантов развития сценария и в итоге разработали новые стратегии оптимальной остановки в различных условиях. Возможность получения отказа, к примеру, может быть устранена простым математическим решением — необходимо предлагать рано и часто. Предположим, если ваши шансы быть отвергнутым составляют 50 на 50, тот же математический анализ, с помощью которого появилось правило тридцати семи процентов, предписывает нам начать делать предложения после первой четверти ваших поисков. В случае отказа продолжайте делать предложения каждому «лучшему на данный момент» человеку, которого встречаете, пока не получите положительный ответ.

С такой стратегией общая вероятность вашего успеха, то есть получение согласия на ваше предложение от лучшего кандидата из имеющихся, составит 25%. Очевидно, это не такой уж и плохой расклад для сценария, в котором возможность получить отказ сочетается с общей сложностью определения прежде всего своих стандартов. Кеплер, в свою очередь, открыто ругал себя за «тревожность и нерешительность», которые заставили его продолжить поиски. «Неужели не было иного способа для моего смятенного сердца примириться с судьбой, — жаловался он своему близкому другу, — кроме как осознать невозможность исполнения других моих желаний?» В этом случае теория оптимальной остановки вновь приносит некоторое утешение. Беспокойство и нерешительность уже в меньшей степени служат признаками моральной или психологической деградации и оказываются частью успешной стратегии в тех сценариях, где второй шанс возможен.

Если вы можете вернуть предыдущих претендентов, то оптимальный алгоритм существенно преображает знакомое нам правило «семь раз отмерь, один раз отрежь»: вы дольше можете не связывать себя обязательствами, и у вас есть резервный план. Например, предположим, что своевременное предложение обречено на положительный ответ, при этом запоздалые предложения отвергают через раз. В этом случае математический расчет призывает нас продолжать поиски без каких бы то ни было обязательств до тех пор, пока вы не просмотрите 61% всех кандидатов, и затем выбрать из оставшихся 39% того, кто окажется лучшим для вас. Если, рассмотрев хорошенько все варианты, вы по-прежнему остались одиноки, как было с Кеплером, то вернитесь к лучшему кандидату из прошлого. И даже в этом случае симметричность стратегии и результата сохраняется: при наличии возможности «войти в одну и ту же реку дважды» вероятность того, что вы остановите свой выбор на лучшем кандидате, снова составляет 61%.

В случае Кеплера несоответствие между реальной жизнью и задачей о секретаре в ее классическом понимании привело его к счастливому концу. По сути, неожиданный поворот в классической задаче сыграл на руку и Трику. После того отказа он защитил диплом и получил работу в Германии. Там «он зашел в бар, влюбился в красивую женщину, через три недели они уже жили вместе. Он предложил ей пожить “некоторое время” в Штатах». Она согласилась, и спустя шесть лет они поженились. Выбери лучшее с первого взгляда: полная информация Первый рассмотренный нами набор вариантов — отказ и возврат — изменил в классической задаче о секретаре представление, что своевременные предложения принимаются всегда, а запоздалые — никогда. В этом случае наилучший подход остался таким же, как изначально: некоторое время наблюдать со стороны, взвесить все, а затем быть готовым к решительным действиям.